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La superiorità scientifica della geometria deriva dai fenomeni che ritiene essere necessariamente la più universale e il più semplice di tutti. Non solo possono tutti 'i corpi di natura dar luogo a indagini geometriche, così come quelle meccaniche, ma ancora più lontano, fenomeni geometrico esisterebbe ancora, anche se tutte le parti del dell'universo dovrebbero essere considerati come beni. La geometria è quindi, per sua natura, più generale meccanica. Allo stesso tempo, i suoi fenomeni sono più semplici, perché sono evidentemente indipendenti di fenomeni meccanici, mentre questi ultimi sono sempre complicato con i primi. Le stesse relazioni valgono nel confronto con la geometria termologia astratto.

Per queste ragioni, nella nostra classificazione mettiamo geometria prima parte del calcestruzzo matematica ; quella parte dello studio di cui, oltre alla sua propria importanza, serve come base indispensabile di tutto il resto.

Prima di considerare direttamente lo studio filosofico di diversi ordini di richieste che costituiscono la nostra geometria attuale, dovremmo ottenere una idea chiara e precisa della destinazione generale di che la scienza, visto in tutte le sue cuscinetti. Tale è l'oggetto di questo capitolo.

. Definizione geometria viene comunemente definito in modo molto vago e del tutto impropria, come la scienza di estensione. Un miglioramento su questo sarebbe dire che la geometria ha per oggetto la misura di estensione; ma una tale spiegazione sarebbe molto insufficiente, anche se, in fondo, corretta, e sarebbe molto da dare qualche idea del vero carattere generale della scienza geometrica.

Per fare questo, penso che dovrei prima spiegare due divertenti fon- idee, che, molto semplice in se stessi, sono stati singolarmente oscurate con l'impiego di considerazioni metafisiche.

L' idea di spazio. La prima è quella di spazio. Questa concezione consiste propriamente semplicemente nel fatto che, invece di considerare l'estensione nei corpi stessi, l'abbiamo vista in un mezzo indefinito, che noi consideriamo come contenente tutti gli organi della dell'universo . Questa nozione è naturalmente suggerito da osservazione, quando pensiamo di l'impressione che un corpo avrebbe lasciato in un fluido in cui era stato collocato. È evidente, infatti, che, per quanto riguarda le sue relazioni geometriche, tale impressione può essere sostituito per il corpo stesso, senza alterare i ragionamenti rispetto esso. Per quanto riguarda la natura fisica di questo indefinito spazio, siamo spontaneamente portati a rappresentare a noi stessi, ad essere del tutto analogo al mezzo reale in cui viviamo; in modo che se questo mezzo era liquido invece di gassosa, nostro geometrico spazio sarebbe certamente essere concepito come liquida. Questa circostanza è, del resto, solo molto secondario, l'oggetto essenziale di tale concezione essendo solo per farci consideriamo estensione separatamente dai corpi che si manifestano a noi. Possiamo facilmente capire in anticipo l'importanza di questa immagine fondamentale, poiché ci permette di studiare fenomeni geometrico in sé, astrazione essendo fatto di tutti gli altri fenomeni che li accompagnano costantemente in corpi reali, senza howover, esercitare alcuna influenza su di loro. La creazione regolare di questa astrazione generale deve essere considerato come il primo passo che è stato fatto nello studio razionale della geometria, che sarebbe stato impossibile se fosse stato necessario prendere in considerazione, insieme con la forma e la grandezza dei corpi, tutta la loro altre proprietà fisiche. L'uso di una tale ipotesi, che è forse la più antica concezione filosofica creato dalla mente umana, è diventata così familiare a noi, che abbiamo difficoltà esattamente valutare la sua importanza, cercando di apprezzare le conseguenze che deriverebbero dalla sua soppressione.

Diversi tipi di estensione. La seconda concezione geometrica preliminare che dobbiamo esaminare è quella di diversi tipi di estensione, designati dalla parole di volume, di superficie, la linea, e anche il punto, e di cui la spiegazione ordinaria è così insoddisfacente. *

Anche se è evidentemente impossibile concepire qualsiasi estensione assolutamente priva di una qualsiasi delle tre dimensioni fondamentali, è altrettanto incontestabile che, in un gran numero di volte, anche di utilità immediata, domande geometrici dipendono solo due dimensioni, considerati separatamente dal il terzo, o in una sola dimensione, considerati separatamente dagli altri due. Ancora una volta, indipendentemente di questo motivo diretta, lo studio di estensione con una sola dimensione, e poi con due, si presenta chiaramente come un preliminare indispensabile per facilitare lo studio dei corpi completi di tre dimensioni, la teoria immediata di cui sarebbe troppo com * Lacroix giustamente criticato l'espressione di solido, comunemente usato dai geometri per designare un volume. è certo, infatti, che quando vogliamo considerare separatamente una certa porzione di spazio indefinito, concepito come gassosa, abbiamo mentalmente solidificare il suo involucro esterno, in modo che una linea ed una superficie sono abitualmente, alla nostra mente, proprio come solido come un volume. può anche essere osservato che la maggior parte in genere, in modo che i corpi possono penetrare l'un l'altro con più facilità, siamo obbligati ad immaginare l'interno di i volumi di essere vuota, che rende ancora più sensibile la scorrettezza della parola tolid.

complicata. Questi sono i due motivi generali che obbligano geometri considerare separatamente estensione con riferimento ad una o due dimensioni, nonché relativamente a tutti e tre insieme.

I concetti generali di superficie e di linea sono stati formati dalla mente umana, in modo che possa essere in grado di pensare, in modo permanente, di estensione in due direzioni, oppure in uno solo. Le espressioni iperboliche abitualmente impiegati da geometri per definire queste nozioni tendono a trasmettere false idee su di loro; ma, ha esaminato in se stessi, non hanno altro scopo che per permetterci di ragionare con facilità rispetto di questi due tipi di estensione, rendendo completa astrazione di ciò che non deve essere preso in considerazione. Ora per questo è sufficiente concepire la dimensione che si vuole eliminare per diventare gradualmente più piccola, gli altri due rimanenti stesso, fino ad arrivare ad un tale grado di tenuity che non può più fissare l'attenzione. È così che abbiamo naturalmente acquisire la vera idea di una superficie, e, da una seconda operazione analoga, l'idea di una linea, ripetendo per ampiezza quanto avevamo dapprima fatto per spessore. Infine, se ancora una volta ripetere la stessa operazione, arriviamo all'idea di un punto, o di una estensione considerato solo con riferimento al suo posto, l'astrazione di essere fatto di tutto grandezza, e di conseguenza progettato per determinare le posizioni.

Superfici evidentemente hanno inoltre la proprietà generale di volumi esattamente circoscrivono; e allo stesso modo, linee, a loro volta, circoscrivono superfici e sono limitate da punti. Ma questa considerazione, a cui troppa importanza è dato spesso, è soltanto uno secondario.

Superfici e linee sono, quindi, in realtà, sempre concepiti con tre dimensioni; sarebbe, infatti, impossibile rappresentare a se stessi una superficie altrimenti che come una piastra estremamente sottile, e una linea altrimenti che come un filo infinitamente bene. È anche evidente che il grado di tenuity attribuito ogni individuo alle dimensioni dei quali desidera fare astrazione non è sempre identica, perché deve dipendere dal grado di sottigliezza dei suoi abituali osservazioni geometriche. Questa mancanza di uniformità ha, inoltre, non inconveniente reale, in quanto è sufficiente, in modo che le idee di superficie e di linea dovrebbero soddisfare la condizione essenziale della loro destinazione, per ognuno di rappresentare a se stesso le dimensioni che devono essere trascurati come essere più piccolo di tutti coloro la cui grandezza della sua esperienza quotidiana gli dà modo di apprezzare.

Noi quindi vediamo come priva di ogni significato sono le fantastiche discussioni dei metafisici sulle fondamenta della geometria. Va anche osservato che queste idee primordiali sono abitualmente presentati dai geometri in maniera non filosofica, poiché, ad esempio, spiegano le nozioni di diversi tipi di misura in un ordine assolutamente l'inverso della loro dipendenza naturale, che produce spesso più gravi inconvenienti in istruzione elementare.

L'oggetto finale DI GEOMETRIA.

Questi preliminari essendo stabilito, si può procedere direttamente alla definizione generale di geometria, continuando a concepire questa scienza come avente per oggetto finale misura di estensione.